三叉戟

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微积分主要知识点整理如下:

# 1.函数的极限
1) $\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1, \lim_{x\to \pm \infty}(1+\dfrac{1}{x})^x=e$
2) $\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x^n}{e^x}=0, \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\log x}{x^{n+1}}=0 \quad (n=0,1,2,\dots)$
# 2.中值定理
如果函数f(x)在区间[a,b]是连续的，且$f(a)\neq f(b)$，则有f(x)在区间(a,b)上可以取遍f(a)与f(b)间的所有值。
# 3.有界性 
在闭区间连续的函数，在区间上是有界的。
# 4.最大值，最小值定理
在闭区间连续的函数，在区间上一定有最大值和最小值。
# 5.微分
1）合成函数的微分 $y=f(t),t=g(x)，则有\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\cdot \dfrac{dt}{dx}$
2) 含参函数的微分 $x=varphi(t),y=phi(t)，则有\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}/\dfrac{dx}{dt}$
3) 反函数的微分 $\dfrac{dx}{dy}=1/\dfrac{dy}{dx}$
4) 对数微分法 对函数取对数后再微分 
例：$y=x^x$ 求它的微分 
$\log y=x\log x \\ \dfrac{y'}{y}=\log x+1\\ y'=y(\log x+1)=x^x(\log x+1)$
# 6.莱布尼茨定理 （用于求高阶导数）
$\dfrac{d^n}{dx^n} (f(x)g(x))=\sum_{k=0}^n C_n^kf^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)$
# 7.均值定理 
如果f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则有$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$,满足a<c<b的c一定存在
# 8.柯西均值定理 
有f(x),g(x),在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且在(a,b)区间上有$g'(x)\neq 0$
则有$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)},满足a<c<b的c一定存在$
# 9.不定极限
不定极限有$\dfrac{0}{0},\dfrac{\infty}{\infty},0^{\infty},1^{\infty},\infty^0$等形式，
其中以于$\dfrac{0}{0}$型的极限，可以使用洛必达法则，上下求导计算
$\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$
# 10.高阶无穷小
如果$\dfrac{f(x)}{g(x)}\to 0(x\to x_0),则有$f(x)=o(g(x))$
# 11.泰勒级数展开 
$f(x)=f(a)+\dfrac{f'(a)}{1!}(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\dots +\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\dots$
特别地，当a=0时，称为麦克劳林级数展开。

常用的泰勒级数展开有：
$e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dots +\dfrac{x^n}{n!}+\dots (-\infty<x<\infty)$
$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dots +(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\dots (-\infty<x<\infty)$
$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dots +(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dots (-\infty<x<\infty)$
$\log(x+1)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dots +(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}+\dots (-1<x<1)$
# 12.积分法
1) $\int \dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \dfrac{x}{a}$ \\ $\int \dfrac{dx}{x^2+a^2}=\dfrac{1}{a} \arctan \dfrac{x}{a}$ \\ $\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\log(x+\sqrt{x^2+a^2})$
2) 如果在[a,b]上可积的函数f(x)的原函数为F(x),则有
$\int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b =F(b)-F(a)$
3) 部分积分法
$\int_a^b f'(x)g(x)dx=[f(x)g(x)]_a^b-\int_a^b f(x)g'(x)dx$
4) 换元积分法
令$x=varphi(t)$,则$'int_a^b f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\varphi'(t)dt (a=\varphi(t),b=\varphi(\beta))$
# 13.积分不等式
1） $|\int_a^b f(x)dx|\leq \int_a^b |f(x)|dx \quad (a<b)$
2)  柯西-施瓦茨不等式,这个基本考不到
$(\int_a^b f(x)g(x)dx)^2 \leq (\int_a^b (f(x))^2 dx) \cdot (\int_a^b (g(x))^2dx)$    
# 14.曲线长度
1) 曲线为含参形式，$x=\varphi(t),y=phi(t)(\alpha\leq t\leq \beta)$对应的曲线长度为
$\int_a^{\beta}\sqrt{\varphi'(t)^2+\phi'(t)^2}dt$
2) 曲线为一般形式$y=f(x) (a\leq x\leq b)$，对应的曲线长度为$\int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}dx$
3) 曲线为极坐标形式时$r=f(\theta) (\alpha\leq \theta\leq \beta)$时，对应的曲线长度为
$\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2+(\dfrac{dr}{d\theta})^2}d\theta$

# 15.三角函数相关的有理式积分 
1) 万能公式
$\tan \dfrac{x}{2}=t, dx=\dfrac{2dt}{t^2+1}, \sin x=\dfrac{2t}{t^2+1},\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
2) 欧拉公式
由sin x和cos x组成的积分,使用欧拉公式统一为$e^{\pm ix}$的形式
$e^{ix}=\cos x+i\sin x, \cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, \sin x=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
特别地,双曲函数$coshx=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}, sinhx=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$

# 16.广义积分和特殊积分 
1)在闭区间[a,b]内点c附近,函数f(x)不是有界函数,若
$\lim_{$\delta_1\to +0}\int_a^{c-\delta_1} f(x)dx+\lim_{\delta_2\to +0}\int_{c+\delta_2}^b f(x)dx$
存在的话,则称f(x)是可积的,上式的极限值称为广义积分.
2) $\int_{-\infty}^b f(x)dx=\lim_{x\to -\infty}\int_x^b f(x)dx, \int_a^{\infty}f(x)dx=\lim_{x\to +\infty}\int_a^xf(x)dx$ 当积分的上限或下限为无穷大时,可以利用极限来求积分的值.