三叉戟

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概率的主要知识点罗列如下:
# 1.排列与组合
1) n个不同的物品不重复地取出r个,排成一排,则对应的排法有
$P_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!}=n(n-1)\dots(n-r+1)$
2) 排列数
$P_n^n=n(n-1)\dots 2\cdot 1=n!$
$P_n^0=1$
$P_0^0=1$
3) n个不同的物品有重复地取出r个,则排列数为$n^r$
4) n个物品中,有$n_1$个a,$n_2$个b,$n_3$个c$\dots$,则这n个物品的排成一排,排列数为
$\dfrac{n!}{n_1!n_2!n_3!\dots}\quad(n_1+n_2+n_3+\dots =n)$
5) n个不同的物品不重复地取出r个,这r个的组合数(不考虑顺序)为
$C_n^r=\dfrac{n(n-1)\dots(n-r+1}{1\cdot 2\dots r}=\dfrac{n!}{(n-r)!r!}$
6) $C_n^n=1,C_n^0=1$
7) n个不同的物事有重复地取出r个,组合数为
$C_{n+r-1}^r=\dfrac{n(n+1)\dots (n+r-1)}{r!}$

# 2.二项式定理 
1) a,b是任意的数,n是正整数,则有
$(a+b)^n=\sum_{r=0}^n C_n^r a^{n-r}b^r=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+\dots C_n^nb^n$
2) $a=1,b=x$时,
有$(1+x)^n=\sum_{r=0}^n C_n^r x^r=C_n^0+C_n^1 x+\dots +C_n^n x^n$
3) $\alpha$是任意实数,$|x|<1$时
$(1+x)^n=\sum_{r=0}^n C_{\alpha}^r x^r=C_{\alpha}^0+C_{\alpha}^1x+\dots +C_{\alpha}^rx^r+\dots$
$=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\dots +\dfrac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-r+1)}{r!}x^r+\dots$
4) $t_1,t_2,\dots,t_k$是任意的数,n和k是正整数
$(t_1+t_2+\dots+t_k)^n=\sum \dfrac{n!}{r_1!r_2!\dots r_k!}t_1^rt_2^r\dots t_n^r$
这里$\sum 表示的是满足r_1+r_2+\dots +r_k=n$的所有$(r_1,\dots, r_k)$的组合

# 事件
全体事件,记为$\Omega$, 空事件:$\emptyset$ 事件A的补记作$A^c$
和事件$A_1\cup A_2$, 交事件$A_1\cap A_2$, 互斥事件$A_1\cap A_2=\emptyset$
# 概率基本定理
1) $0\leq P(A)\leq 1$
2) $P(\Omega)=1,P(\emptyset)=0$
3) $P(A^c)=1-P(A)$
4) $P(A_1\cup A_2)=P(A_1) + P(A_2)-P(A_1\cap A_2)$
5) 如果$A_1,A_2$互斥,则有$P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)$
6) 扩展到n个事件$A_1,A_2,\dots, A_n$是互斥的,
则有$P(A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\dots +P(A_k)$ (加法定理)     

# 条件概率与独立性
1) 当$P(A_1)>0$时,$P(A_2|A_1)=\dfrac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}$
这表示$A_1$发生的情况下,$A_2$发生的概率.
2) 如果$A_1和A_2$相互独立,在$P(A_1)>0$时,$P(A_2|A_1)=P(A_2)$
3) 在$P(A_1)>0$时,$P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2|A_1)=P(A_2)P(A_1|A_2)$
4) 如果$A_1和A_2$相互独立,则有$P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2)$
5) 当$P(A_1\cap \dots \cap A_{n-1})>0$时,有$P(A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\dots P(A_n|A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_{n-1})$ 乘法定理
6) 如果$A_1,\dots, A_n$是均相互独立,则有$P(A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_n)=P(A_1)\dots P(A_n)$